Question

把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a²，第二次出现的点数为b²（其中a＞0，b＞0）．试求：
（Ⅰ）方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率；
（Ⅱ）方程

x2

a2

-

y2

b2

=1表示离心率为2的双曲线的概率．

Answer 1

分析：先确定事件的所有可能情况，再分别计算
（Ⅰ）方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦点在x轴上的椭圆，则a²＞b²，且a²＞b²的所有可能的情况，即可求得结论；
（Ⅱ）方程

x2

a2

-

y2

b2

=1表示离心率为2的双曲线，则

b2

a2

=3，满足条件的有（1，3），（2，6）共有2种，故可得结论．

解答：解：∵一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a²，第二次出现的点数为b²
∴（a²，b²）所有可能的情况是（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）；（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2、6）；（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3、6）；（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4、6）；（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5、6）；（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6、6），共有36种．…（2分）
（Ⅰ）设事件A表示“焦点在x轴上的椭圆”，方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦点在x轴上的椭圆，则a²＞b²，且a²＞b²的所有可能的情况是（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）（6，1）、（6，2）、
（6，3）、（6，4）、（6，5）共有15种．所以P(A)=

15

36

=

5

12

；…（7分）
（Ⅱ）设事件B表示“离心率为2的双曲线”，即e2=

a2+b2

a2

=1+

b2

a2

=4，
所以

b2

a2

=3，则满足条件的有（1，3），（2，6）共有2种．
∴P(B)=

2

36

=

1

18

．                           …（12分）

点评：本题以圆锥曲线为载体，考查概率知识的运用，解题的关键是确定基本事件的个数．