Question

已知函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），其反函数f^-1（x）的图象过点（8，2）．（1）求a，k的值
（2）若将y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y=g（x）的图象，写出y=g（x）的解析式
（3）若函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），求F（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），
∴f（-1）=a^-1+k=1，
解得k=1．
∵函数f（x）=a^x+k反函数f^-1（x）的图象过点（8，2），
∴函数f（x）=a^x+k的图象过点（2，8），
∴a^2+k=8，即a³=8，
∴a=2．
（2）由（1）得f（x）=2^x+1，
∴f^-1（x）=log₂^x-1．
将y=f^-1（x）的图象向左移2，向上移1得f^-1（x+2）-1=log₂（x+2），
∴g（x）=log₂（x+2）．（x＞-2）
（3）f（x）=g（x²）-f^-1（x）
=log₂（x²+2）-log₂^x+1（x＞0）
=log2

x2+2

x

+1=log2(x+

2

x

)+1，
∴x＞0，
∴x+

2

x

≥2

2

，
当且仅当x=

2

时取
∴F(x)min=F(

2

)=log22

2

+1=

5

2

．