Question

如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE∥PA，BE=

1

2

PA，F为PA的中点．
（I）求证：DF∥平面PEC
（II）若PE=

2

，求平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：理解EF，∵BE∥PA，BE=

1

2

PA=AF，∴四边形ABEF是平行四边形．
∴EF

∥

.

BA，
∵矩形ABCD，∴BA

∥

.

CD．
∴EF

∥

.

CD．
∴四边形EFDC是平行四边形．
∴DF∥CE．
∵DF?平面PEC，EC?平面PEC．
∴DF∥平面PEC．
（Ⅱ）∵AP⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
在Rt△PEF中，PE=

2

，EF=AB=1，∴PF=1．
可得P（0，0，2），E（1，0，1），C（1，2，0），
∴

PE

=(1，0，-1)，

PC

=(1，2，-2)．
设平面PEC的法向量为

n

=(x，y，z)．
则

n • PE =0 n • PC =0

，得

x-z=0 x+2y-2z=0

，
令x=2，则z=2，y=1，∴

n

=(2，1，2)．
∵AB⊥平面PAD，∴可取

AB

=(1，0，0)作为平面PAD的法向量．
∴cos＜

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB || n |

=

2

22+1+22

=

2

3

．
故平面PEC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为

2

3

．