Question

命题p：（t-1）²≥|a-b|，其中a，b满足条件：五个数18，20，22，a，b的平均数是20，标准差是

2

；
命题q：m≤t≤n，其中m，n满足条件：点M在椭圆

x2

4

+y2=1上，定点A（1，0），m、n分别为线段AM长的最小值和最大值．
若命题“p或q”为真且命题“p且q”为假，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数t的取值范围．

解答：解：根据五个数18，20，22，a，b的平均数是20，标准差是

2

，
可求得|a-b|=2，命题p等价于：（t-1）²≥2
∴t≥

2

+1或t≤1-

2

命题q等价于：AM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+1-

x2

4

=

3

4

x2-2x+2（-2≤x≤2）
∴

2

3

≤AM2≤9∴

6

3

≤t≤3
①p真q假

t≥ 2 +1或t≤1- 2 t＞3或t＜ 6 3

∴t＞3或t≤1-

2

②p假q真

1- 2 ＜t＜1+ 2 6 3 ≤t≤3

∴

6

3

≤t＜1+

2

综上所述满足  条件m范围为t＞3或

6

3

≤t＜1+

2

或t≤1-

2

．

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．