Question

△ABC中，A、B两点的坐标分别为（-4，2）、（3，1），O为坐标原点．已知|

CA

|=λ•|

CB

|，|

AD

=λ•

DB

，

OC

∥

CD

，且直线

DC

的方向向量为

i

=（1，2），求顶点C的坐标．

Answer 1

分析：据角平分线定理得CD为角平分线，据点关于直线对称中点在对称轴上；两点连线与对称轴斜率乘积为-1求对称点坐标，据两点式求直线BC方程，据三点共线充要条件求CD方程，求两直线交点即点C．

解答：解：∵|

CA

|=λ•|

CB

|，
∴λ=

| CA|

| CB|

＞0
∵

AD

=λ•

DB

，
∴A，B，D三点共线，D在线段AB上，且λ=

| AD|

| DB|

∴

| CA|

| CB|

=

| AD|

| DB|

∴CD为∠ACB的角平分线
∵

OC

∥

CD

∴O，C，D共线
∵直线DC的方向向量为

i

=(1，2)，
∴直线DC的方程为y=2x
设点A（-4，2）关于CD的对称点A′（x，y）则有

y+2 2 =2 x-4 2 y-2 x+4 =- 1 2

解得

x=4 y=-2

即A′（4，-2）
∵A′在直线BC上
∴直线BC的方程为3x+y-10=0
由

3x+y-10=0 y=2x

得C（2，4）
答：点C的坐标为（2，4）

点评：本题考查角平分线定理；点关于直线的对称点的求法；直线方程的求法；交点坐标等．