Question

（2013•东至县一模）已知函数f(x)=2

3

sin(

x

2

+

π

4

)cos(

x

2

+

π

4

)-sin(x+π)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若将f（x）的图象按向量

a

=（

π

6

，0）平移得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）将函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代人周期公式即可求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）利用平移规律，根据题意得出g（x）的解析式，由x的范围得出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可得出g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．

解答：解：（I）f（x）=

3

sin（x+

π

2

）+sinx=

3

cosx+sinx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
∵ω=1，∴T=

2π

1

=2π，
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）∵将f（x）将f（x）的图象按向量

a

=（

π

6

，0）平移，得到函数g（x）的图象，
∴g（x）=f（x-

π

6

）=2sin[（x-

π

6

）+

π

3

]=2sin（x+

π

6

），
∵x∈[0，π]时，x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴当x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，sin（x+

π

6

）=1，g（x）取得最大值2；当x+

π

6

=

7π

6

，即x=π时，sin（x+

π

6

）=-

1

2

，g（x）取得最小值-1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．