Question

16．已知关于x的不等式kx²-2x+6k＜0；
（1）若不等式的解集为（2，3），求实数k的值；
（2）若k＞0，且不等式对一切2＜x＜3都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得2和3是相应方程kx²-2x+6k=0的两根且k＞0，利用根与系数的关系即可得出；
（2）设f（x）=kx²-2x+6k，利用二次函数的图象与性质把问题化为$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，即可求出k的取值范围．

解答 解：（1）不等式kx²-2x+6k＜0的解集为（2，3），
所以2和3是方程kx²-2x+6k=0的两根且k＞0，
由根与系数的关系得，2+3=$\frac{2}{k}$，
解得k=$\frac{2}{5}$；
（2）令f（x）=kx²-2x+6k，
则原问题等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4k-4+6k≤0}\\{9k-6+6k≤0}\end{array}\right.$，
解得k≤$\frac{2}{5}$，
又k＞0，
所以实数k的取值范围是0＜k≤$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了一元二次不等式与与相应的一元二次方程以及二次函数的应用问题，是综合性题目．