Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax，（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣ax，f′（x）=ex﹣a， 当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，
则在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax，f'（x）=ex﹣a，
若a＜0，则f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；
当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，
故a＜0不满足条件．
若a=0，f（x）=ex≥0恒成立，满足条件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
当x＜lna时，f'（x）＜0；当x＞lna时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=elna﹣alna=a﹣alna，
由f（lna）≥0得a﹣alna≥0，
解得0＜a≤e．
综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，e]
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a得到范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．