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8.直线l的极坐标方程为:ρcosθ-ρsinθ+4=0,曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数)
(1)写出l与C的直角坐标方程
(2)求C上的点到l距离的最大值与最小值.

分析 (1)由ρcosθ=x,ρsinθ=y,能求出l的直角坐标方程,由cos2α+sin2α=1,能求出C的直角坐标方程.
(2)求出C上的点(2cosθ,sinθ)到直线x-y+4=0的距离,利用三角函数性质能求出C上的点到l距离的最大值和最小值.

解答 解:(1)∵直线l的极坐标方程为:ρcosθ-ρsinθ+4=0,
ρcosθ=x,ρsinθ=y
∴l的直角坐标方程为x-y+4=0.
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数),
cos2α+sin2α=1,
∴C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1.
(2)∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ为参数),
∴C上的点(2cosθ,sinθ)到直线x-y+4=0的距离:
d=$\frac{|2cosθ-sinθ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|\sqrt{5}sin(θ+α)+4|$,
∴C上的点到l距离的最大值为${d}_{max}=\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$,最小值为${d}_{min}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$.

点评 本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化,考查点到直线距离的最值的求法,是基础题,解题时要注意公式ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,cos2α+sin2α=1的合理运用.

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