Question

【题目】品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分． 现设n=4，分别以a1 ， a2 ， a3 ， a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，
则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．
（Ⅰ）写出X的可能值集合；
（Ⅱ）假设a1 ， a2 ， a3 ， a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；
（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，
①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}

∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，

∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，

∴|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，

∴X=（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必为偶数，

X的值非负，且易知其值不大于8，

∴X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}

（Ⅱ）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，

计算每种排列下的X的值，

在等可能的假定下，

得到P（X=0）=

P（X=2）=

P（X=4）=

P（X=6）=

P（X=8）=

（Ⅲ）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）= =

将三轮测试都有X≤2的概率记做P，有上述结果和独立性假设得

P= = ，

②由于P= ＜ 是一个很小的概率，

这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，

∴我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测．

【解析】（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，得到|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，得到结论．（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，算出概率，写出分布列．（3）做出三轮测试都有X≤2的概率，记做P，做出概率的值和已知量进行比较，得到结论，
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列，需要了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．