Question

设集合S_n={1，2，3…n}，若X是S_n的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S_n的奇（偶）子集．
（Ⅰ） 写出S₄的所有奇子集；
（Ⅱ） 求证：S_n的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当n≥3时，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，分析S₄的子集，对应奇子集的定义，即可得S₄的所有奇子集；
（Ⅱ）设S为S_n的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按1是否属于S进行分类，则得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的结论，计算奇子集容量之和时，元素i的贡献是2^n-2i，即可求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，当n=4时，s₄={1，2，3，4}，
∵X的容量为奇数，则X为S_n的奇子集，
∴所有的奇子集为{1}、{3}、{1，3}；
（Ⅱ）证明：设S为S_n的奇子集，令T=

S∪1，若1∉S S{1，若1∈S

，
则T是偶子集，A→T是奇子集的集到偶子集的一一对应，而且每个偶子集T，均恰有一个奇子集，S=

T∪1，若1∉T T{1，若1∈T

与之对应，
故S_n的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）对任一i（1≤i≤n），含i的子集共有2^n-1个，用上面的对应方法可知，
在i≠1时，这2^n-1个子集中有一半时奇子集，
在i=1时，由于n≥3，将上边的1换成3
，同样可得其中有一半时奇子集，
于是在计算奇子集容量之和时，元素i的贡献是2^n-2i，
∴奇子集容量之和是

n

i=1

2n-2i=n（n+1）•2^n-3，
根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，
故当n≥3时，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

点评：本题考查集合的子集，是新定义的题型，关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列举的方法还有问题转化的思想．值得同学们体会反思．属于难题．