Question

已知A（2，3），B（5，4），C（7，8）
（1）若

AP

=

AB

+λ

AC

，(λ∈R)，试求当λ为何值时，点P在第三象限内．
（2）求∠A的余弦值．
（3）过B作BD⊥AC交于点D，求点D的坐标．
（4）求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），

AP

=(x-2，y-3)，

AB

=(3，1)，λ

AC

=(5λ，5λ)，

AP

=

AB

+λ

AC

，(λ∈R)，

x=5λ+5 y=5λ+4

，由点P在第三象限内，能求出λ＜-1．
（2）

AB

=(3，1)，

AC

=(5，5)，由此能求出cosA．
（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直线AC的表达式，为y=x+1．也由此知AC的斜率为1，又因为BD⊥AC，所以知直线BD的斜率为k=-1，又因为直线BD过点B（5，4），所以可求得直线BD的表达式是y=-x+9．由此能求出两直线的交点坐标．．
（2）根据两点间的距离公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，得到AC=5

2

，BD=

2

，由BD⊥AC，能求出S_△ABC．

解答：解：（1）设P（x，y），

AP

=(x-2，y-3)，

AB

=(3，1)，λ

AC

=(5λ，5λ)，
∵

AP

=

AB

+λ

AC

，(λ∈R)，
∴

x-2=3+5λ y-3=1+5λ

，即

x=5λ+5 y=5λ+4

，
∵点P在第三象限内，
∴

5λ+5＜0 5λ+4＜0

，解得：λ＜-1．
（2）∵

AB

=(3，1)，

AC

=(5，5)，
∴cosA=|

3×5+1×5

9+1 • 25+25

| =

2 5

5

．
（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直线AC的表达式，
可用直线表达式y=kx+b，A、C两点代进去求出．
得k=1，b=1，
直线AC的表达式为y=x+1．
也由此知AC的斜率为1，
又因为BD⊥AC，
所以知直线BD的斜率为k=-1，
又因为直线BD过点B（5，4），
所以可求得直线BD的表达式是y=-x+9
解方程组

y=x+1 y=-x+9

，得x=4，y=5′．
∴两直线的交点坐标为D（4，5）．
（2）根据两点间的距离公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，
得到AC=5

2

，
BD=

2

，
由（1）知BD⊥AC，
所以S_△ABC=

1

2

AC×BD=5

2

×

2

×

1

2

=5．

点评：本题考查平面向量的运算，解题时要认真审题，注意直线方程的知识的灵活运用．