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设函数f(x)=x2+bln(x+1).
(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围;(2)求证:数学公式

解:(1)∵f'(x)=,且f(x)在定义域上是单调函数,
∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.…(1分)
若f'(x)≥0,∵x+1>0,
∴2x2+2x+b≥0在(-1,+∞)上恒成立.
即b≥-2x2-2x=-2x(x+1)在(-1,+∞)上恒成立,
∵当x∈(-1,+∞)时,-2x(x+1)=-2
∴b≥;…(3分)
若f'(x)≤0,∵x+1>0,
∴2x2+2x+b≤0在(-1,+∞)上恒成立.
即b≤-2(x2+x)在(-1,+∞)上恒成立.
∵-2(x2+x)在(-1,+∞)上没有最小值,
∴不存在实数b使f'(x)≤0恒成立.…(5分)
综上可知,实数b的取值范围是[,+∞). …(6分)
(2))∵

又∵
故不等式成立.
分析:(1)根据题意,f′(x)=2x+,在(-1,+∞)上的符号只有一种,即f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立,再根据函数f′(x)的特征可得在(-1,+∞)上f′(x)总有正值,f′(x)≤0不可能恒成立,解f′(x)≥0恒成立,可得b取值范围是
(2)先构造不等式,进行恰当放缩:,利用这个式子进行累加,得 ,结合 可得不等式成立.
点评:本题以函数为载体,考查利用导数研究函数的单调性,考查不等式的证明.利用分类讨论思想和不等式放缩的技巧,是解决本题的关键,也是思考的难点.
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n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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