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(08年大连24中) (12分)       在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=BB1DAC的中点,

   (1)求证:B1C∥平面A1BD

   (2)若AC1⊥平面A1BD,二面角BA1C1D的余弦值.

解析:(1)连结AB1交于A1B于点E,连结ED.

       ∵侧面ABB1A1是正方形  ∴EAB1的中点

       又∵DAC的中点  ∴EDB1C

       ∴B1C∥平面A1BD………………4分

   (2)取A1C1的中点G,连结DG,则DG⊥A1C1

       ∵AB=BC   ∴BDAC  ∴BD⊥平面A1C1D

       ∴BG⊥A1C1

       ∴∠BGD为二面角BA1C1D的平面角………………8分

       ∵AC1⊥平面A1BD,∴AC1BD,又∵CC1⊥平面ABCD,且AC1在平面ABC的射影为AC,∴ACBD

       ∵AB=BCDAC中点,∴ABBC   且BD=AB

       又∵DG=A1A=AB

       ∴BG=AB    ∴……………………12分

 

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