Question

已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c．向量

m

=(a，4cosB)，

n

=(cosA，b)满足

m

∥

n

．
（1）求sinA+sinB的取值范围；
（2）若A∈(0，

π

3

)，且实数x满足abx=a-b，试确定x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由向量平行的坐标表示及正弦定理可得4sinAsinB=4cosAcosB，然后利用两角和的余弦公式可求A+B，然后利用辅助角公式及正弦函数的性质可求
（2）由题意可得，x=

a-b

ab

=

sinA-sinB

2sinAsinB

=

sinA-cosA

2sinAcosA

，利用换元法设t=sinA-cosA，利用同角平方关系可把2sinAcosA用t表示，结合函数的导数可判断函数的单调性进而可求取值范围

解答：解：（1）∵

m

∥

n

由向量平行的坐标表示可得，

a

cosA

=

4cosB

b

即ab=4cosAcosB
∵△ABC的外接圆半径为1
由正弦定理可得，4sinAsinB=4cosAcosB
∴cosAcosB-sinAsinB=0即cos（A+B）=0
∵0＜A+B＜π
∴A+B=

1

2

π故△ABC为直角三角形
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)
∵

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

∴

2

2

＜sin(A+

π

4

)≤1
∴1＜sinA+sinB≤

2

（2）由题意可得，x=

a-b

ab

=

sinA-sinB

2sinAsinB

=

sinA-cosA

2sinAcosA

设t=sinA-cosA（-1＜t＜

3 -1

2

），则2sinAcosA=1-t²
∴x=

t

1-t2

∵=

1+t2

(1-t2)2

＞0
故x=

t

1-t2

在（-1，

3 -1

2

）上单调递增
∴

t

1-t2

＜

3 -1 2

1-( 3 -1 2 )2

=

3- 3

3

∴x的取值范围是x＜

3- 3

3

点评：本题综合考查了正弦定理及和差角公式、辅助角公式、同角平方关系及函数的导数与函数的单调性的关系的综合应用