Question

已知斜三棱柱—，侧面与底面垂直，∠，，且⊥，＝.

（1）试判断与平面是否垂直，并说明理由；
（2）求侧面与底面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）AA₁与平面A₁BC不垂直
（2）

试题分析：解法一：如图建立空间直角坐标系，

（1）由条件知                              1分
由面⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知     2分

∵   ……………3分
∴与不垂直，即AA₁与BC不垂直，
∴AA₁与平面A₁BC不垂直……5分
（2）由ACC₁A₁为平行四边形，
知==…7分
设平面BB₁C₁C的法向量，
由
令，则            9分
另外，平面ABC的法向量（0，0，1）       10分

所以侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为       12分
解法二：（1）取AC中点D，连结A₁D，则A₁D⊥AC．

又∵侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，交线为AC，
∵A₁D⊥面ABC
∴A₁D⊥BC． 2分
假设AA₁与平面A₁BC垂直，则AA₁⊥BC．
又A₁D⊥BC，由线面垂直的判定定理，
BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC，这样在△ABC中
有两个直角，与三角形内角和定理矛盾．假设不
成立，所以AA₁不与平面A₁BC垂直    5分
（2）侧面BB₁C₁C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB₁C₁C与A₁B₁C₁底面所成的锐二面角．
过点C作A₁C₁的垂线CE于E，则CE⊥面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥CE．
过点E作B₁C₁的垂线EF于F，连结CF．
因为B₁C₁⊥EF，B₁C₁⊥CE，所以B₁C₁⊥面EFC，B₁C₁⊥CF
所以∠CFE即为所求侧面BB₁C₁C与地面A₁B₁C₁所成的锐二面角的平面角           9分
由得
在Rt△EFC中，cos∠
所以，侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为     12分
点评：主要是考查了空间中线面垂直以及二面角平面角的大小的求解，运用向量法来求解，属于常规试题。