【题目】设,函数
.
(1)若,求曲线
在
处的切线方程;
(2)若无零点,求实数
的取值范围;
(3)若有两个相异零点
,
,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析.
【解析】
试题分析:(1)求函数的导数,当
时
,帖点斜式写出切线方程即可;(2)当
时,由
可知函数有零点,不符合题意;当
时,函数
有唯一零点
有唯一零点,不符合题意;当
时,由单调性可知函数有最大值,由函数的最大值小于零列出不等式,解之即可;(3) 设
的两个相异零点为
,
,设
,则
,
,两式作差可得,
即
,由
可得
即
,
,设
上式转化为
(
),构造函数
,证
即可.
试题解析: (1)函数的定义域为,
,
当时,
,则切线方程为
,即
.
(2)①若时,则
,
是区间
上的增函数,
∵,
,
∴,函数
在区间
有唯一零点;
②若,
有唯一零点
;
③若,令
,得
,
在区间上,
,函数
是增函数;
在区间上,
,函数
是减函数;
故在区间上,
的极大值为
,
由于无零点,须使
,解得
,
故所求实数的取值范围是
.
(3)设的两个相异零点为
,
,设
,
∵,
,∴
,
,
∴,
,
∵,故
,故
,
即,即
,
设上式转化为
(
),
设,
∴,
∴在
上单调递增,
∴,∴
,
∴.
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【题目】已知椭圆(
﹥
﹥0)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,坐标原点
到直线
的距离为
,求
面积的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.且曲线
的左焦点
在直线
上.
(1)若直线与曲线
交于
两点,求
的值;
(2)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
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【题目】吉安一中举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了解本了次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为
)进行统计.按照
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在
的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛学生成绩是分以上(含
分)的同学中随机抽取
名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的
名同学中得分在
的学生人数恰有一人的概率.
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【题目】已知函数为正常数.
⑴若,且
,求函数
的单调增区间;
⑵在⑴中当时,函数
的图象上任意不同的两点
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
,试证明:
.
⑶若,且对任意的
,
,都有
,求
的取值范围.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b),在AB,AD,CB,CD上,分别截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),设四边形EFGH的面积为y.
(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系;
(2)求当x为何值时y取得最大值,最大值是多少?
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【题目】如图,设为单位圆上逆时针均匀分布的六个点,现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量
.
(1)求的概率;
(2)求的分布列及数学期望
.
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