Question

已知数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2）且a₃=95．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）是否存在一个实数t，使得b_n=

1

3n

（a_n+t）（n∈N）且{b_n}为等差数列？若存在，求出t的值，如不存在，请说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2）且a₃=95．分别令n=3，2，解出即可．
（2）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2），变形为

an

3n

-

an-1

3n-1

=1-

1

3n

，利用“累加求和”可得a_n=

(2n+1)•3n+1

2

．．假设存在一个实数t，使得b_n=

1

3n

（a_n+t）（n∈N）且{b_n}为等差数列．b_n+1-b_n=一个常数即可．
（3）由（2）可得：a_n=

(2n+1)•3n+1

2

．．可得数列{a_n}的前n项和S_n=

n

2

+

1

2

[3×3+5×32+7×33+…+（2n+1）×3ⁿ]．，设T_n=3×3+5×3²+…+（2n+1）×3ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2）且a₃=95．
令n=3时，a3=3a2+33-1=95，解得a₂=23．
令n=2时，a2=3a1+32-1=23，解得a₁=5．
∴a₂=23，a₁=5．
（2）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2），变形为

an

3n

-

an-1

3n-1

=1-

1

3n

，
∴

an

3n

=(

an

3n

-

an-1

3n-1

)+(

an-1

3n-1

-

an-2

3n-2

)+…+(

a2

32

-

a1

3

)+

a1

3

=(1-

1

3n

)+(1-

1

3n-1

)+…+(1-

1

32

)+

5

3

=（n-1）-

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

+

5

3

=

2n+1

2

+

1

2

×

1

3n

，
∴a_n=

(2n+1)•3n+1

2

．
假设存在一个实数t，使得b_n=

1

3n

（a_n+t）（n∈N）且{b_n}为等差数列．
则b_n+1-b_n=

1

3n+1

(an+1+t)-

1

3n

(an+t)=

1

3n+1

(an+1+t-3an-3t)=

1

3n+1

(3n+2-2t)，
当t=0时，b_n+1-b_n=3为一个常数．
因此存在一个实数t=0，使得b_n=

1

3n

（a_n+t）（n∈N）且{b_n}为等差数列．
（3）由（2）可得：a_n=

(2n+1)•3n+1

2

．．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

n

2

+

1

2

[3×3+5×32+7×33+…+（2n+1）×3ⁿ]．
设T_n=3×3+5×3²+…+（2n+1）×3ⁿ，
则3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ+（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=3+2×

3(3n-1)

3-1

-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=-2n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n×3ⁿ⁺¹．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

n

2

+n×3ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了递推式的应用、“累加求和法”、“错位相减法”、等差数列的定义、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．