Question

7．已知x→0时（1+ax²）${\;}^{\frac{1}{3}}$-1与cosx-1是等价无穷小，则a=-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意得$\underset{lim}{x→0}$$\frac{（1+a{x}^{2}）^{\frac{1}{3}}-1}{cosx-1}$=1，从而利用洛必达法则求得．

解答 解：由题意得，
$\underset{lim}{x→0}$$\frac{（1+a{x}^{2}）^{\frac{1}{3}}-1}{cosx-1}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{\frac{2ax}{3\root{3}{（1+a{x}^{2}）^{2}}}}{-sinx}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{2ax}{-3sinx}$=$\frac{2a}{-3}$=1，
解得，a=-$\frac{3}{2}$；
故答案为：-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了洛必达法则的应用．