Question

已知函数F(x)=

3x-2

2x-1

(x≠

1

2

)
（1）求F(

1

2011

)+F(

2

2011

)+…+F(

2010

2011

)；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3） 求证：a₁a₂a₃…a_n＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）根据F（x）的解析式化简得到F（x）+F（1-x）=3，所以把所求的式子乘以2后，倒序相加即可得到所求式子的值；
（2）先把x=a_n代入f（x）的解析式中，确定出f（a_n），由a_n+1=F（a_n），两边都减去1，化简后即可得到数列{

1

an-1

}是以2为公差、1为首项得等差数列，写出数列{

1

an-1

}的通项公式即可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）根据（2n）²＞（2n）²-1，得到

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，根据（2）中求出的数列{a_n}的通项公式列举出各项，收缩不等式后约分即可得证．

解答：解：（1）因为F(x)+F(1-x)=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=3，
所以由倒序相加可得：2[F(

1

2011

)+F(

2

2011

)+…+F(

2010

2011

)]
=[F（

1

2011

）+F（

2010

2011

）]+…+[F（

2010

2011

）+F（

1

2011

）]
=3×2010=6030，
则F(

1

2011

)+F(

2

2011

)+…+F(

2010

2011

)=3015；
（2）由a_n+1=F（a_n），两边同时减去1，得an+1-1=

an-1

2an-1

，
所以

1

an+1-1

=

2an-1

an-1

=2+

1

an-1

，
故{

1

an-1

}是以2为公差、1为首项得等差数列．
所以

1

an-1

=2n-1，由此an=

2n

2n-1

（3）因为（2n）²＞（2n）²-1=（2n+1）（2n-1），
所以

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，于是

2

1

＞

3

2

，

4

3

＞

5

4

，…，

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

所以a1a2…an=

(a1a2…an)2

=

2 1 • 2 1 • 4 3 • 4 3 … 2n 2n-1 • 2n 2n-1

＞

2 1 • 3 2 • 4 3 … 2n 2n-1 • 2n+1 2n

=

2n+1

．

点评：此题考查了等差数列的通项公式及等差数列的确定方法，是一道中档题．本题的技巧性比较强如第1问中求出F（x）+F（1-x）的值，然后利用倒序相加的方法来求解；第3问证明不等式时注意利用不等式的放缩的方法来证明．