【题目】已知函数 .
(1)若函数与的图象恰好相切与点,求实数 的值;
(2)当时, 恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证: .
【答案】(1)(2)(3)见解析
【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得,即得实数的值;(2)利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题(x>1)最大值,再利用导数研究函数单调性:单调递减,最后根据洛必达法则求最大值,即得实数的取值范围(3)先根据和的关系转化为对应项的关系: ,再利用(2)的结论,令,则代入放缩得证
试题解析:(1)
所以
(2)方法一:(分参)
即时, , 时,显然成立;
时,即
令,则
令 []
即
在上单调递减
故
方法二:(先找必要条件)
注意到时,恰有
令
则
在恒成立的必要条件为
即
下面证明:当时,
令
即
在递减,
恒成立,即也是充分条件,故有.
(3)不妨设为前项和,则
要证原不等式,只需证
而由(2)知:当时恒有
即当且仅当时取等号
取,则
即即
即成立,从而原不等式获证.
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【题目】某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)= (万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+ (万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】数列{an}满足a1= ,an+1﹣an+anan+1=0(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an<1.
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【题目】某科研小组研究发现:一棵水果树的产量(单位:百千克)与肥料费用(单位:百元)满足如下关系: .此外,还需要投入其它成本(如施肥的人工费等)百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为(单位:百元).
(1)求的函数关系式;
当投入的肥料费用为多少时,该水果树获得的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( )
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a2<0,则a2+a3<0
C.若0<a1<a2 , 则a2>
D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)<0
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【题目】如图,已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率e= ,过点(0,﹣b),(a,0)的直线与原点的距离为 ,M(x0 , y0)是椭圆上任一点,从原点O向圆M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=2作两条切线,分别交椭圆于点P,Q.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若记直线OP,OQ的斜率分别为k1 , k2 , 试求k1k2的值.
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【题目】计算下列几个式子,结果为 的序号是 ①tan25°+tan35° tan25°tan35°,
② ,
③2(sin35°cos25°+sin55°cos65°),
④ .
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