【题目】设函数.
(1)当(
为自然对数的底数)时,求
的最小值;
(2)讨论函数零点的个数;
(3)若对任意恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)2(2)当时,函数
无零点;当
或
时,函数
有且仅有一个零点;当
时,函数
有两个零点;(3)
【解析】试题分析:(1)当m=e时, >0,由此利用导数性质能求出f(x)的极小值;(2)由
,得
,令
,x>0,m∈R,则h(1)=
,
h′(x)=1-x2=(1+x)(1-x),由此利用导数性质能求出函数g(x)=f′(x)-零点的个数;(3)(理)当b>a>0时,f′(x)<1在(0,+∞)上恒成立,由此能求出m的取值范围
试题解析:(1)由题设,当时,
易得函数的定义域为
当
时,
,此时
在
上单调递减;
当时,
,此时
在
上单调递增;
当
时,
取得极小值
的极小值为2
(2)函数
令,得
设
当时,
,此时
在
上单调递增;
当时,
,此时
在
上单调递减;
所以是
的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是
的最大值点,
的最大值为
又,结合y=
的图像(如图),可知
①当时,函数
无零点;
②当时,函数
有且仅有一个零点;
③当时,函数
有两个零点;
④时,函数
有且只有一个零点;
综上所述,当时,函数
无零点;当
或
时,函数
有且仅有一个零点;当
时,函数
有两个零点.
(3)对任意恒成立,等价于
恒成立
设,
在
上单调递减
在
恒成立
恒成立
(对
,
仅在
时成立),
的取值范围是
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【题目】已知数列,
,其前
项和
满足
,其中
.
(1)设,证明:数列
是等差数列;
(2)设,
为数列
的前
项和,求证:
;
(3)设(
为非零整数,
),试确定
的值,使得对任意
,都有
成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,过点
作垂直于
轴的直线
,直线
垂直
于点
,线段
的垂直平分线交
于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
,且分别交椭圆于
,求四边形
面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知动直线过点
,且与圆
交于
、
两点.
(1)若直线的斜率为
,求
的面积;
(2)若直线的斜率为
,点
是圆
上任意一点,求
的取值范围;
(3)是否存在一个定点(不同于点
),对于任意不与
轴重合的直线
,都有
平分
,若存在,求出定点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为推行“微课、翻转课堂”教学法,某数学老师分别用传统教学和“微课、翻转课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表:
记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
(1)由以上统计数据填写下面列联表,并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?
附:
临界值表:
(2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核,在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为,求
的分布列及数学期望.
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