【题目】如图,在四棱锥中,
丄平面
,
,
,
,
,
.
(1)证明丄
;
(2)求二面角的正弦值;
(3)设为棱
上的点,满足异面直线
与
所成的角为
,求
的长.
【答案】(1)见证明;(2) ;(3)
【解析】
(1)要证异面直线垂直,即证线面垂直,本题需证平面
(2)作于点
,连接
。
为二面角
的平面角,在
中解出
即可。
(3)过点作
的平行线与线段
相交,交点为
,连接
,
;计算出AF、BF,再在
中利用
的余弦公式,解出EF,即可求出AE的长
(1)证明:由平面
,可得
,
又由,
,故
平面
。
又平面
,所以
。
(2)如图,作于点
,连接
。
由,
,可得
平面
。
因此,从而
为二面角
的平面角。
在中,
,
,由此得
由(1)知,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值为
。
(3)因为,故过点
作
的平行线必与线段
相交,
设交点为,连接
,
;
∴或其补角为异面直线
与
所成的角;
由于,故
;
在中,
,
;
∴;
∴在中,由
,
,
可得:;
由余弦定理,可得,
,
解得:,设
;
在中,
;
在中,
;
∴在中,
,∴
;
;
解得;∴
。
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【题目】在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=5 ,b=5,求sinBsinC的值.
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【题目】某个产品有若千零部件构成,加工时需要经过6道工序,分别记为.其中,有些工序因为是制造不同的零部件,所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为是对同一个零部件进行处理,所以存在加工顺序关系.若加工工序
必须要在工序
完成后才能开工,则称
为
的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:小时)列表如下:
工序 | ||||||
加工时间 | 3 | 4 | 2 | 2 | 2 | 1 |
紧前工序 | 无 | 无 |
现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品,则完成该产品的最短加工时间是__________小时.(假定每道工序只能安排在一台机器上,且不能间断).
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【题目】已知圆心为的圆,满足下列条件:圆心
位于
轴正半轴上,与直线
相切且被轴
截得的弦长为
,圆
的面积小于13.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与圆
交于不同的两点
,以
为邻边作平行四边形
.是否存在这样的直线
,使得直线
与
恰好平行?如果存在,求出
的方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】我国古代著名的周髀算经
中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷
长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸
意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为
分;且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分
则“立春”时日影长度为
A. 分B.
分C.
分D.
分
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【题目】对某种书籍的成本费(元)与印刷册数
(千册)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中.
为了预测印刷20千册时每册的成本费,建立了两个回归模型:.
(1)根据散点图,拟认为选择哪个模型预测更可靠?(只选出模型即可)
(2)根据所给数据和(1)中的模型选择,求关于
的回归方程,并预测印刷20千册时每册的成本费.
附:对于一组数据,其回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,且过点
.设
为椭圆的右焦点,
为椭圆上关于原点对称的两点,连结
并延长,分别交椭圆于
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线的斜率分别为
,是否存在实数
,使得
?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
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