Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率e= ，其左右焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为4 ．

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线x=ty+m交椭圆于不同两点C，D，若以线段CD为直径的圆过原点O，求|CD|的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，

即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|

=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 ，可得a= ，

e= = ，可得c=2，b= =1，

即有椭圆的方程为 +y2=1

（2）解：当直线OC的斜率不存在或斜率为0时，

可得|CD|= = ，

当直线OC的斜率存在时，

设直线OC的方程为y=kx（k≠0），直线OD的方程为：y=﹣ x

联立 ，解得x2= ，y2= ．

∴|OC|2=x2+y2= ．

同理可得|OD|2= ．

∴|CD|2=|OC|2+|OD|2= + =

= ≥ ，当k2=1时取等号．

∴|CD|≥ ．

综上可得， ≤|CD|≤

【解析】（2）当直线OC的斜率不存在或斜率为0时，可得|CD|= = ．当直线OC的斜率存在时，设直线OC的方程为y=kx（k≠0），直线OD的方程为：y=﹣ x联立椭圆方程，解得x2 ， y2 ． 可得|OC|2=x2+y2= ．同理可得|OD|2= ．可得|CD|2=|OC|2+|OD|2 ， 求得最小值，即可得出范围．