Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c经过坐标原点，当x=

1

3

时有最小值-

1

3

，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

3

anan+1

，T_n 是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f(x)=a(x-

1

3

)2-

1

3

（a＞0），由于函数f（x）的图象经过原点，可得f（0）=0，解出a即可；
（2）把点（n，S_n）（n∈N^*）代入函数y=f（x）即可得到S_n．再利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得到a_n．
（3）利用“裂项求和”即可得出T_n．由于T_n是关于n的单调递增数列，要满足使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的m，则

1

2

≤

m

20

，解得m即可．

解答：解：（1）由题意可得f(x)=a(x-

1

3

)2-

1

3

（a＞0），由于函数f（x）的图象经过原点，
∴f（0）=0，即a(0-

1

3

)2-

1

3

=0，解得a=3．
∴f(x)=3(x-

1

3

)2-

1

3

=3x²-2x．
（2）∵点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，∴Sn=3n2-2n．
当n=1时，a₁=S₁=3-2=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=6n-5（n∈N^*）．
（3）b_n=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)．
由于T_n是关于n的单调递增数列，要满足使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的m，则

1

2

≤

m

20

，解得m≥10，
因此满足条件的最小正整数m=10．

点评：数列掌握二次函数的性质、利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”得到a_n、“裂项求和”等是解题的关键．