Question

已知分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，已知是椭圆上不同于顶点的两点，直线与交于点，直线与交于点．① 求证：；② 若弦过椭圆的右焦点，求直线的方程．

Answer 1

【命题意图】本题考查直线与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，较难题．

【答案】（Ⅰ）由题，，由点在椭圆上知，则有：

，又，

以上两式可解得，．所以椭圆．                                            ……4分

（Ⅱ）① 设，则直线：、直线：，

两式联立消去得：；

同理：直线：、：，联立得：．……6分

欲证：，只需证：，只需证：，

等价于：，

而，，所以，

故有：．                                                                                                 ……9分

② (ⅰ)当时，由可求得：；                                  …10分

(ⅱ)当直线斜率存在时，设：，

由（Ⅱ）知：，

将，代入上式得：，

解得，由①知．

综合(ⅰ) (ⅱ)，，故直线：．                                    …