Question

（1）已知不同的实数a，b∈{-1，1，2}，求直线y=ax+b不经过第四象限的概率；
（2）若a∈[-2，2]，b∉[-1，1]，求直线ax+by+1=0（a、b不同时为0）与圆x²+y²=1有公共点的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（a，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第四象限，符合条件的（a，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是a∈[-2，2]，b∉[-1，1]，满足条件的事件直线ax+by+1=0与圆x²+y²=1有公共点写出关系式，做出对应的面积，得到结果．

解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件a，b∈{-1，1，2}（a≠b）
得到（a，b）的取值所有可能的结果有：
（-1，1）；（-1，2）；（1，-1）；（1，2）；（2，-1）；
（2，1）共6种结果．
而当

a＞0 b＞0

时，直线不经过第四象限，
符合条件的（a，b）有2种结果，
∴直线不过第四象限的概率P=

2

6

=

1

3

（2）由题意知本题是一个几何概型，
∵直线ax+by+1=0与圆x²+y²=1有公共点
∴

1

a2+b2

≤1

a2+b2

≥1
a²+b²≥1
a∈[-2，2]，b∈[-1，1]，则（a，b）对应的区域为矩形ABCD（如图）
满足条件a²+b²≥1的（a，b）对应的区域为图中阴影部分．
∴直线ax+by+1=0与圆x²+y²=1有公共点的概率P
=

S图形

SABCD

=

4×2-π

4×2

=1-

π

8

．

点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到．