Question

设全集为U=R，集合A为函数的定义域，B={x|2x-4≥x-2}
（1）求A∪B，∁_U（A∩B）
（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二次根式的被开方数大于或等于0和对数的真数大于0，解不等式组得到集合A=[-1，3），结合集合B=[2，+∞）算出A∩B=[2，3），A∪B=[-1，+∞），再由全集补集的含义可求出∁_U（A∩B）的值．
（2）根据并集的性质得B?C，然后解出C=（-，+∞），结合（1）中求出的集合B，建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．
解答：解：（1）解不等式组，得-1≤x＜3，
∴的定义域A=[-1，3），
又∵集合B={x|2x-4≥x-2}=[2，+∞），
∴A∩B=[2，3），A∪B=[-1，+∞），
∵全集为U=R，
∴∁_U（A∩B）=（-∞，2）∪[3，+∞），
综上所述，得A∪B=[-1，+∞），∁_U（A∩B）=（-∞，2）∪[3，+∞）．
（2）由（1）得集合B=[2，+∞），
∵C={x|2x+a＞0}=（-，+∞），且B∪C=C，
∴B?C，可得-＜2，解之得a＞-4．
即实数a的取值范围是（-4，+∞）．
点评：本题给出集合A、B，求A、B的并集和交集的补集，并讨论了集合的包含关系，着重考查了函数定义域的求法和集合的基本运算等知识，属于基础题．