Question

已知椭圆C经过点A(1， 

3

2

)，且经过双曲线y²-x²=1的顶点．P是该椭圆上的一个动点，F₁，F₂是椭圆的左右焦点，
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值．
（3）求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，代入点A，即可求椭圆C的方程；
（2）利用椭圆的定义，结合配方法，可求|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值．
（3）利用向量的数量积公式，结合配方法，可求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

解答：解：（1）双曲线y²-x²=1的顶点为（0，1）
由题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+y2=1（a＞1），则将A(1， 

3

2

)代入可得

1

a2

+

3

4

=1
∴a=2
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设|PF₁|=m，则|PF₂|=4-m，且2-

3

≤m≤2+

3

∴|PF₁|•|PF₂|=m（4-m）=-（m-2）²+4
∴m=2时，|PF₁|•|PF₂|的最大值为4；m=2±

3

时，|PF₁|•|PF₂|的最小值为1；
（3）设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=（-x-

3

，-y）•（

3

-x，-y）=x²+y²-3=

1

4

（3x2-8），
∵x∈[-2，2]
∴当x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值-2；
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值1

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查向量知识，考查配方法的运用，属于中档题．