Question

（本小题满分13分）
已知数列满足：，
（I）求得值；
（II）设求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；
（III）对任意的，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（I）因为，
       ………………3分
（II）由题意，对于任意的正整数，
所以           ………………4分
又
所以          ………………6分
又       ………………7分
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以………………8分
（III）存在，事实上，对任意的中，
这连续的项就构成一个等差数列………………10分
我们先来证明：
“对任意的”
由（II）得
当为奇数时，
当k为偶数时，
记
因此要证
其中
（这是因为若时，则k一定是奇数）
有


如此递推，要证
其中
如此递推下去，我们只需证明
即，由（I）可得，
所以对
对任意的

所以
又
所以这连续的项，
是首项为的等差数列。 ………………13分
说明：当时，
因为构成一个项数为的等差数列，所以从这个数列中任取连续的项，也是一个项数为的等差数列。

解析