分析 (Ⅰ)由Sn+1=2Sn+1,可得n=1时,S1=a1;Sn>0,Sn+1≠0.变形为:Sn+1+1=2(Sn+1),即可证明数列{Sn+1}是等比数列,可得Sn.再利用:n≥2时,an=Sn-Sn-1,即可得出.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=$\frac{3}{n(n+1)}$=3$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$.利用“裂项求和”方法可得:Tn.由Tn>f(x)对所有的n∈N*和x∈R都成立,可得:(Tn)min>f(x)max,利用数列的单调性与二次函数的单调性即可得出.
解答 (Ⅰ)证明:∵Sn+1=2Sn+1,∴n=1时,S1=a1=1;Sn>0,Sn+1≠0.
变形为:Sn+1+1=2(Sn+1),
∴数列{Sn+1}是等比数列,首项为2,公比为2.
∴Sn+1=2n,于是Sn=2n-1,
∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,n=1时也满足上式.
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,bn=$\frac{3}{(lo{g}_{2}{a}_{n+1})•(lo{g}_{2}{a}_{n+2})}$=$\frac{3}{n(n+1)}$=3$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$.
∴数列{bn}的前n项和Tn=3$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$=3$(1-\frac{1}{n+1})$=3-$\frac{3}{n+1}$,
显然Tn是单调递增数列,故当n=1时,Tn取得最小值(Tn)min=$\frac{3}{2}$.
又由函数f(x)=-x2+2ax-a2+a-1=-(x-a)2+a-1,∴f(x)max=a-1,
∵Tn>f(x)对所有的n∈N*和x∈R都成立,
由题意(Tn)min>f(x)max,即$\frac{3}{2}$>a-1,解得a$<\frac{5}{2}$,
即实数a的取值范围为$(-∞,\frac{5}{2})$.
点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系、对数的运算性质、“裂项求和”方法、数列的单调性与二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{2}$ | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 8 | B. | 8$\sqrt{2}$ | C. | 16 | D. | 16$\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
赔付金额(元) | 0 | 1000 | 2000 | 3000 | 4000 |
车辆数(辆) | 500 | 130 | 100 | 150 | 120 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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