Question

17．数列{a_n}中，a₁=1，设S_n是{a_n}的前n项和，且满足S_n+1=2S_n+1．
（1）证明数列{S_n+1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{3}{（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+2}）}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，函数f（x）=-x²+2ax-a²+a-1，若T_n＞f（x）对所有的n∈N^*和x∈R都成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n+1=2S_n+1，可得n=1时，S₁=a₁；S_n＞0，S_n+1≠0．变形为：S_n+1+1=2（S_n+1），即可证明数列{S_n+1}是等比数列，可得S_n．再利用：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”方法可得：T_n．由T_n＞f（x）对所有的n∈N^*和x∈R都成立，可得：（T_n）_min＞f（x）_max，利用数列的单调性与二次函数的单调性即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵S_n+1=2S_n+1，∴n=1时，S₁=a₁=1；S_n＞0，S_n+1≠0．
变形为：S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴S_n+1=2ⁿ，于是S_n=2ⁿ-1，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，n=1时也满足上式．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{3}{（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+2}）}$=$\frac{3}{n（n+1）}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=3$（1-\frac{1}{n+1}）$=3-$\frac{3}{n+1}$，
显然T_n是单调递增数列，故当n=1时，T_n取得最小值（T_n）_min=$\frac{3}{2}$．
又由函数f（x）=-x²+2ax-a²+a-1=-（x-a）²+a-1，∴f（x）_max=a-1，
∵T_n＞f（x）对所有的n∈N^*和x∈R都成立，
由题意（T_n）_min＞f（x）_max，即$\frac{3}{2}$＞a-1，解得a$＜\frac{5}{2}$，
即实数a的取值范围为$（-∞，\frac{5}{2}）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系、对数的运算性质、“裂项求和”方法、数列的单调性与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．