Question

已知抛物线y=x²+2x+b（x∈R）与坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为M．
（1）求实数b的取值范围；
（2）设抛物线与x轴的交点从左到右分别为A、B，与y轴的交点为C，求A、B、C三点的坐标；
（3）设直线l是抛物线在点A处的切线，试判断直线l是否也是圆M的切线？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先对实数b分等0和不等0两种情况讨论，再把与坐标轴有三个交点，转化为与x轴有两个不同的交点问题，利用判别式大于0即可求出实数b的取值范围；
（2）先让x=0求出点C的坐标，再令y=0求出对应方程的根即可求出点A、B的坐标；
（3）先求出圆M的方程以及直线l是的斜率，利用相切对应的斜率相乘为-1，解出实数b再与第一问相结合即可得出结论．

解答：解：（1）∵抛物线与坐标轴有三个交点
∴b≠0，否则抛物线与坐标轴只有两个交点，与题设不符，
由b≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，b），
故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程x²+2x+b=0有两个不同的实根
∴△=4-4b＞0即b＜1
∴b的取值范围是b＜0或0＜b＜（13分）
（2）令x=0得y=b，
∴C（0，b）（4分）
令y=0得x²+2x+b=0解得x=

-2± 4-4b

2

=-1±

1-b

∴A(-1-

1-b

，0)，B(-1+

1-b

，0)（6分）
（3）∵y=x²+2x+b
∴y'=2x+2
∴直线l的斜率kl=2(-1-

1-b

+1)=-2

1-b

（7分）
设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵圆M过A(-1-

1-b

，0)，B(-1+

1-b

，0)，C（0，b）
∴

(-1- 1-b )2+D(-1- 1-b )+F=0 (-1+ 1-b )2+D(-1+ 1-b )+F=0 b2+Eb+F=0

解得

D=2 E=-(b+1) F=b

（10分）
∴圆心M(-1，

1+b

2

)（11分）
∴kMA=

1+b 2

1-b

=

1+b

2 1-b

，若直线l也是圆M的切线，
则k_l•k_MA=-1即-2

1-b

•

1+b

2 1-b

=-1?1+b=1解得b=0
这与b＜0或0＜b＜1矛盾（13分）
∴直线l不可能是圆M的切线．（14分）

点评：当一个抛物线开口向上或向下时，与坐标轴的交点问题就转化为对应函数与坐标轴的交点问题．而一个函数与y轴最多有一个交点，就把问题简单化了．