Question

设f（x）=

x2

x+1

，g（x）=ax+5-2a（a＞0）．
（1）求f（x）在区间[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）-f（x₁）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）判断单调性求值域；
（2）求出函数的值域，由集合的包含关系求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）设0≤x₁＜x₂≤1，则
f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1

x1+1

-

x 2 2

x2+1

=

(x1-x2)(x1x2+x1+x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
故函数f（x）在区间[0，1]上是增函数，
且f（0）=0，f（1）=

1

2

，
则f（x）在区间[0，1]上的值域为[0，

1

2

]．
（2）∵函数f（x）在区间[0，1]上的值域为[0，

1

2

]，
函数g（x）在区间[0，1]上的值域为[5-2a，5-a]，
则若使对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）-f（x₁）＜0成立，
则5-2a＜0，
解得，a＞

5

2

；
故实数a的取值范围为a＞

5

2

．

点评：本题考查了函数的值域的求法及集合的包含关系的应用，属于基础题．