Question

已知曲线C的极坐标方程为：ρ2-2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
（I）若直线l过原点，且被曲线C截得弦长最短，求此时直线l的标准形式的参数方程；
（II）M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程，求得圆心C（1，-1），要使直线l过原点，且被曲线C截得弦长最短，则OC⊥l，故可求；
（Ⅱ）设M（1+2cosθ，-1+2sinθ），θ为参数，则x+y=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)，故可求x+y的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为：ρ2-2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
∴ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0
∴x²+y²-2x+2y-2=0
∴（x-1）²+（y+1）²=4
∴圆心C（1，-1），
∴k_OC=-1，
∵直线l过原点，且被曲线C截得弦长最短，
∴直线l斜率为1，
∴参数方程为

x= 2 2 t y= 2 2 t

，t为参数
（Ⅱ）设M（1+2cosθ，-1+2sinθ），θ为参数，
则x+y=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)
∵-1≤sin(θ+

π

4

)≤1
∴-2

2

≤2 

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

∴x+y的最大值为2

2

．

点评：本题以曲线的极坐标方程为载体，考查圆的方程，考查圆的参数方程，正确转化是解题的关键．