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3.已知bn=$\frac{n}{n+1}$,Sn=$\frac{n-4}{2(n-2)}$.求实数a为何值时,4a•Sn<bn恒成立.

分析 通过Sn=$\frac{n-4}{2(n-2)}$、bn=$\frac{n}{n+1}$易知当n≥5时Sn>0,分n<5、n≥5两种情况讨论即可.

解答 解:∵Sn=$\frac{n-4}{2(n-2)}$,bn=$\frac{n}{n+1}$,
∴S1=$\frac{1-4}{2(1-2)}$=$\frac{3}{2}$,b1=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$,S2不存在,
∵4a•Sn<bn恒成立,
∴a<$\frac{{b}_{1}}{4{S}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{4×\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{8}$,
∵S3=$\frac{3-4}{2(3-2)}$=-$\frac{1}{2}$,b3=$\frac{3}{3+1}$=$\frac{3}{4}$,
∴a>$\frac{{b}_{3}}{4{S}_{3}}$=$\frac{\frac{3}{4}}{4×(-\frac{1}{2})}$=-$\frac{3}{8}$,
∵S4=$\frac{4-4}{2(4-2)}$=0,b4=$\frac{4}{4+1}$=$\frac{4}{5}$,
∴4a•Sn<bn恒成立,
∵当n≥5时,Sn>0,4a•Sn<bn恒成立,
∴a<$\frac{{b}_{n}}{4{S}_{n}}$=$\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{4(n-4)}{2(n-2)}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{n}^{2}-2n}{{n}^{2}-3n-4}$恒成立,
∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{n}^{2}-2n}{{n}^{2}-3n-4}$=1,
∴a<$\frac{1}{2}$,
综上所述:-$\frac{3}{8}$<a<$\frac{1}{2}$.

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题,涉及极限等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.

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