Question

3．已知b_n=$\frac{n}{n+1}$，S_n=$\frac{n-4}{2（n-2）}$．求实数a为何值时，4a•S_n＜b_n恒成立．

Answer 1

分析 通过S_n=$\frac{n-4}{2（n-2）}$、b_n=$\frac{n}{n+1}$易知当n≥5时S_n＞0，分n＜5、n≥5两种情况讨论即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{n-4}{2（n-2）}$，b_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴S₁=$\frac{1-4}{2（1-2）}$=$\frac{3}{2}$，b₁=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，S₂不存在，
∵4a•S_n＜b_n恒成立，
∴a＜$\frac{{b}_{1}}{4{S}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{4×\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∵S₃=$\frac{3-4}{2（3-2）}$=-$\frac{1}{2}$，b₃=$\frac{3}{3+1}$=$\frac{3}{4}$，
∴a＞$\frac{{b}_{3}}{4{S}_{3}}$=$\frac{\frac{3}{4}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=-$\frac{3}{8}$，
∵S₄=$\frac{4-4}{2（4-2）}$=0，b₄=$\frac{4}{4+1}$=$\frac{4}{5}$，
∴4a•S_n＜b_n恒成立，
∵当n≥5时，S_n＞0，4a•S_n＜b_n恒成立，
∴a＜$\frac{{b}_{n}}{4{S}_{n}}$=$\frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{4（n-4）}{2（n-2）}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{n}^{2}-2n}{{n}^{2}-3n-4}$恒成立，
∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{n}^{2}-2n}{{n}^{2}-3n-4}$=1，
∴a＜$\frac{1}{2}$，
综上所述：-$\frac{3}{8}$＜a＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，涉及极限等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．