Question

设函数f（x）=

x

x+2

(x＞0)，定义f_n（x），n∈N如下：当n=1时，f₁（x）=f（x）；当n∈N且n≥2时，f_n（x）=f（f_n-1（x））．观察：
f₁（x）=f（x）=

x

x+2

f₂（x）=f（f₁（x））=

x

3x+4

f₃（x）=f（f₂（x））=

x

7x+8

f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

…
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N时，f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．

Answer 1

分析：观察f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，分析等式的构成，寻找规律，进行归纳．

解答：解：∵f₁（x）=f（x）=

x

x+2

f₂（x）=f（f₁（x））=

x

3x+4

f₃（x）=f（f₂（x））=

x

7x+8

f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

…
所给的函数式的分子不变都是x，
而分母是由两部分的和组成，
第一部分的系数分别是1，3，7，15…2ⁿ-1，
第二部分的数分别是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

(2n-1)x+2n

．
故答案为：

x

(2n-1)x+2n

．

点评：本题考查归纳推理，实际上可看作给出一个数列的前几项写出数列的通项公式．