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设函数f(x)=
x
x+2
(x>0)
,定义fn(x),n∈N如下:当n=1时,f1(x)=f(x);当n∈N且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x)).观察:
f1(x)=f(x)=
x
x+2

f2(x)=f(f1(x))=
x
3x+4

f3(x)=f(f2(x))=
x
7x+8

f4(x)=f(f3(x))=
x
15x+16


根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N时,fn(x)=
x
(2n-1)x+2n
x
(2n-1)x+2n
分析:观察f1(x),f2(x),f3(x),…,分析等式的构成,寻找规律,进行归纳.
解答:解:∵f1(x)=f(x)=
x
x+2

f2(x)=f(f1(x))=
x
3x+4

f3(x)=f(f2(x))=
x
7x+8

f4(x)=f(f3(x))=
x
15x+16


所给的函数式的分子不变都是x,
而分母是由两部分的和组成,
第一部分的系数分别是1,3,7,15…2n-1,
第二部分的数分别是2,4,8,16…2n
∴fn(x)=f(fn-1(x))=
x
(2n-1)x+2n

故答案为:
x
(2n-1)x+2n
点评:本题考查归纳推理,实际上可看作给出一个数列的前几项写出数列的通项公式.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
x
x+2
(x>0),观察:
 f1(x)=f(x)=
x
x+2

 f2(x)=f(f1(x))=
x
3x+4

 f3(x)=f(f2(x))=
x
7x+8

 f4(x)=f(f3(x))=
x
15x+16


根据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
x
x+2
(x>0),观察:f1(x)=f(x)=
x
x+2
,f2(x)=f(f1(x))=
x
3x+4
,f3(x)=f(f2(x))=
x
7x+8
,…,根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,fn(x)=
x
(2n-1)x+2n
x
(2n-1)x+2n

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=m-e-nx(m,n∈R)
(1)若f(x)在点x=0处的切线方程为y=x,求m,n的值.
(2)在(1)条件下,设x≥0且
x
x+a
有意义时,恒有f(x)≥
x
x+a
成立
,求a的取值范围.

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设函数f(x)=ax+
x
x-1
(x>1),若a从1、2、3这三个数中任取一个所得的数,b 是从2、3、4、5这四个数中任取一个所得的数,则使f(x)>b恒成立的概率为
5
6
5
6

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