Question

18．设数列{a_n}是公差大于0的等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=9，且2a₁，a₃-1，a₄+1构成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$（n∈N*），设T_n要是数列{b_n}在前n项和，证明：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{3a}_{1}+3d=9}\\{{（a}_{1}+2d-1）^{2}=2{a}_{1}（{a}_{1}+3d+1）}\end{array}\right.$，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由 b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，得到T_n要是数列{b_n}在前n项和得到证明：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，得到a₂=3，
且2a₁，a₃-1，a₄+1构成等比数列，
∴得到未知数a₂与d的方程组：$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=9}\\{（{a}_{2}+2d+1）（2{a}_{2}-2d）=（{a}_{2}+d-1）^{2}}\end{array}\right.$
由d≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）证明：由题意得：b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$…+$\frac{1}{2n-1}$_$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
∴$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$，∵$0＜\frac{1}{n}≤1$，所以$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用