Question

已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)； 
(Ⅱ) ①当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是.
②当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是.
③当时，的单调递增区间是. 
④当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（Ⅲ）。

解析试题分析：.（Ⅰ），解得.  2分                             
（Ⅱ）.
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是.      3分
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.  4分
③当时，， 故的单调递增区间是.  5分
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.   6分
（Ⅲ）由已知，在上有.        8分              
由已知，，                   9分
由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，故.     11分
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，， 综上所述，.       14分
考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值。
点评：当含有参数时，我们也可以通过解不等式来得到单调递增（或单调递减）区间，这样问题就转化为解含参不等式。解含参不等式主要应用的数学思想是分类讨论，常讨论的有：开口方向，两个的大小，和判别式∆，讨论时要不重不漏。