分析 (1)过P点且与CP垂直的弦长最短,由此能求出点的弦中,弦长最短的弦所在的直线方程.
(Ⅱ)当直线垂直x轴时,直线x=5与圆C相切,当直线不垂直x轴时,设直线方程kx-y-5k=0,由圆心C到直线的距离等于半径,能求出切线方程.
解答 解:(1)∵圆C:(x-3)2+(y-4)2=4及圆内一点P(2,5),
∴由题意,过P点且与CP垂直的弦长最短,(1分)
∵圆心C点坐标为(3,4),∴${k_{PC}}=\frac{4-5}{3-2}=-1$,(3分)
∴所求直线的斜率k=1,代入点斜式方程,(4分)
得y-5=x-2,即x-y+3=0.
∴P点的弦中,弦长最短的弦所在的直线方程为x-y+3=0.(6分)
(Ⅱ)当直线垂直x轴时,即x=5,圆心C到直线的距离为2,此时直线x=5与圆C相切,(8分)
当直线不垂直x轴时,设直线方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0,
圆心C到直线的距离$d=\frac{|3k-4-5k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$(10分)
解得$k=-\frac{3}{4}$,
∴所求切线方程为3x+4y-15=0,或x=5.(12分)
点评 本题考查直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线距离公式的合理运用.
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A. | $\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$ | B. | $\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$ | C. | $2\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$ | D. | $\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}$ |
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A. | y=-1 | B. | y=-$\frac{1}{16}$ | C. | x=-1 | D. | x=-$\frac{1}{16}$ |
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A. | 若a⊥b且b∥α,则a⊥α | B. | 若a⊥b且b⊥α,则a∥α | ||
C. | 若a⊥α且b∥α,则a⊥b | D. | 若a⊥α且α⊥β,则a∥β |
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A. | -$\frac{4}{5}$ | B. | -$\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
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