Question

设函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）与g（x）的图象关于点（2，3）对称．
（1）求g（x）的解析式；  
（2）若f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）设点（x，y）为y=g（x）图象上任一点，点（m，n）为y=f（x）图象上与之关于点（2，3）对称的点，则有m+x=4，n+y=6，再由n=log_am，代入即可得到；
（2）若f（x）＜g（x）恒成立，即log_ax＜6-log_a（4-x）恒成立，即有log_ax+log_a（4-x）＜6，当a＞1时，有x（4-x）＜a⁶，当0＜a＜1时，有x（4-x）＞a⁶，分别求出x（4-x）在（0，4）的最值即可得到．

解答： 解：（1）设点（x，y）为y=g（x）图象上任一点，
点（m，n）为y=f（x）图象上与之关于点（2，3）对称的点，
则有m+x=4，n+y=6，
即有m=4-x，n=6-y，
由n=log_am，得，6-y=log_a（4-x），
即有g（x）=6-log_a（4-x）；
（2）若f（x）＜g（x）恒成立，即log_ax＜6-log_a（4-x）恒成立，
即有log_ax+log_a（4-x）＜6，
当a＞1时，有x（4-x）＜a⁶，
由于x（4-x）=-（x-2）²+4≤4，当x=2时取等号即最大值4，
则有a⁶＞4，解得a＞

6	4

．
当0＜a＜1时，有x（4-x）＞a⁶，
x（4-x）在（0，4）无最小值，故不成立．
则a的取值范围是：（

6	4

，+∞）．

点评：本题考查对数函数的性质和运用，考查函数的对称性和解析式的求法，考查函数的单调性及运用：求最值，属于中档题和易错题．