精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn).
(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

【答案】分析:(Ⅰ)先设直线AnBn的方程为y-1=knx,然后与抛物线方程x2=4y联立消去y得到x2-4knx-4=0,再由根与系数的关系可得到xnsn=-4,从而得证.
(Ⅱ)先根据导数求出抛物线x2=4y在An处的切线的斜率,进而可得到抛物线在An处的切线的方程,同理可得到x2=4y在Bn处的切线方程,然后两切线方程相减整理可得到交点Cn的坐标,然后结合两点间的距离公式可得到整理即可得到,又由于xn=2n可得到|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=(|x1|+|x2|+…+|xn|)+2=
,最后根据等比数列的前n项和公式可得到最后答案.
解答:证明:(Ⅰ)对任意固定的n≥1,因为焦点F(0,1),
所以可设直线AnBn的方程为y-1=knx,
将它与抛物线方程x2=4y联立得:x2-4knx-4=0,
由一元二次方程根与系数的关系得xnsn=-4(n≥1).
(Ⅱ)对任意固定的n≥1,
利用导数知识易得抛物线x2=4y在An
的切线的斜率
故x2=4y在An处的切线的方程为:,①
类似地,可求得x2=4y在Bn处的切线的方程为:,②
由②-①得:,∴
将 ③代入 ①并注意xnsn=-4得交点Cn的坐标为
由两点间的距离公式得:=
现在xn=2n,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得:
|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=(|x1|+|x2|+…+|xn|)+2
=
点评:本题主要考查直线与抛物线的综合问题和等比数列的前n项和公式.考查基础知识的综合运用和计算能力.圆锥曲线、直线以及数列是高考必考题,要给予重视.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn).
(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:重庆市高考真题 题型:证明题

如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn),
(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1)。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(22)如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FA.交抛物线于另一点Bn(sn,tn).

(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);

(Ⅱ)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证:

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2006年重庆市高考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn).
(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

查看答案和解析>>

同步练习册答案