Question

在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上，
（1）求证：BC⊥PB；
（2）若AD=

3

，AB=BC=2，Q为AC的中点，求二面角Q-PB-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PA⊥BC，AD⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB．
（2）以

AB

、

AP

为x轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q-PB-C的余弦值．

解答： 解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC （1分）
又∵AD⊥平面PBC，BC在平面ABC内，∴AD⊥BC（2分）
PA、AD在平面PAB内且相交于A，∴BC⊥平面PAB（3分）
而PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB．（4分）
（2）解：由（1）知BC⊥平面PAB，AB在平面PAB内，∴BC⊥AB
∵AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上，∴AD⊥PB
设PA=x，则

4+x2

×

3

=2x⇒x=2

3

（6分）
以

AB

、

AP

为x轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），Q（1，1，0），P（0，0，2

3

），C（2，2，0）

PB

=(2，0，-2

3

)，

PQ

=(1，1，-2

3

)
设平面PBQ的法向量为

n

=（x，y，z），
则

(x，y，z)•(2，0，-2 3 )=0 (x，y，z)•(1，1，-2 3 )=0

⇒x=y=

3

z
∴

n

=（3，3，

3

），（8分）
在Rt△ABD中，AD=

3

，AB=2，则BD=1
∴D(

3

2

，0，

3

2

)，

DA

=(-

3

2

，0，-

3

2

)（10分）
由已知

DA

是平面PBC的法向量，
cos＜

n

，

DA

＞=

(3，3， 3 )•(- 3 2 ，0，- 3 2 )

32+32+( 3 )2 × (- 3 2 )2+02+(- 3 2 )2

=-

2 7

7

∴二面角Q-PB-C的余弦值为

2 7

7

．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．