Question

15．己知函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx，x∈R．
（1）证明：f（x）的最小正周期为2π；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0在区间[$\frac{π}{6}$，π]上有两个不同的实数解，求实数a的值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）化简得到f（x）=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$，由余弦函数为周为2π的函数可知f（x）周期为2π．
（2）使用换元法将问题转化为g（t）-a=0在[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上有两解问题，

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=$\frac{1}{2}$（2cos²x-1）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期为2π．
（2）令cosx=t，g（t）=t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{1}{2}$，
则f（x）-a=0在区间[$\frac{π}{6}$，π]上有两个不同的实数解?g（t）-a=0在[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上有两解．
∵g（t）=t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{1}{2}$=（t+$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²-$\frac{11}{16}$．
∴g（t）在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$]单调递减，在（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]单调递增，
∵g（t）-a=0在[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上有两解
∴g（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）＜a≤g（-1）．
即-$\frac{11}{16}$＜a≤$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．
∴a的取值范围是（-$\frac{11}{16}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查了函数的周期及函数单调性的应用，使用换元法转化为二次函数问题是解题关键．