Question

已知奇函数f（x）的定义域为实数集，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，当时，是否存在这样的实数m，使f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：由题意，函数f（x）的定义域为实数集
∴f（x）在（-∞，+∞）上连续
∵函数f（x）为奇函数，在[0，+∞）上是增函数，
故f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
由f（0）=-f（-0），得f（0）=0
f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）=0
移向变形得f（4m-2mcosθ）＞f（2sin²θ+2）
∴由f（x）（-∞，+∞）上连续且为增函数，得
4m-2mcosθ＞2sin²θ+2
∴2cos²θ-4-2mcosθ+4m＞0
cos²θ-mcosθ+（2m-2）＞0
根据题意，时，0≤cosθ≤1
令t=cosθ∈[0，1]
则问题等价于t∈[0，1]时，t²-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围
令f（t）=t²-mt+（2m-2），此函数对应的抛物线开口向上，对称轴t=，
分类讨论：
①当此抛物线对称轴t=在区间[0，1]内时，m∈[0，2]，
函数最小值（2m-2）-＞0即可，此时m²-8m+8＜0，
∴4-2＜m≤2
②当对称轴在（-∞，0）时，m＜0，
只要f（0）＞0即可，此时2m-2＞0，推出m＞1，与m＜0矛盾，此情况不成立，舍去
③当对称轴在（1，+∞）时，m＞2，
只要f（1）＞0即可，此时1-m+2m-2=m-1＞0，推出m＞1，
∴m＞2
综上所述，m的取值范围是（4-2，+∞）
分析：由题意，f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，f（0）=0，从而条件可变为4m-2mcosθ＞2sin²θ+2．根据题意，时，0≤cosθ≤1，令t=cosθ∈[0，1]，则问题等价于t∈[0，1]时，t²-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围．令f（t）=t²-mt+（2m-2），此函数对应的抛物线开口向上，对称轴t=，进行分类讨论：①当此抛物线对称轴t=在区间[0，1]内时，m∈[0，2]，函数最小值（2m-2）-＞0即可；②当对称轴在（-∞，0）时，m＜0，只要f（0）＞0即可；③当对称轴在（1，+∞）时，m＞2，只要f（1）＞0即可，由此可求出m的取值范围
点评：本题将函数的奇偶性与函数的单调性融合一起，综合考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题时，合理转化，正确分类是关键．