Question

8．如图，已知圆M：（x-3）²+（y-3）²=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E为边AB的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动，同时点F在边AD上运动时，$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$的最大值是8．

Answer 1

分析 由题意可$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{ME}•（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}）$=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$．由点F在边AD上运动时，所以当F与A 重合时，可得$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$最大，=6cos＜$\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{OF}$＞+$\sqrt{2}$|MF|cos＜$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{ME}$＞，从而求得$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$的最大值．

解答 解：由题意可得可$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{ME}•（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}）$=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$．由点F在边AD上运动时，所以当F与A 重合时，可得$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$最大，
所以$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$=6cos＜$\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{OF}$＞+|ME||MF|cos＜$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{ME}$＞，
由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2$\sqrt{2}$，故ME=$\sqrt{2}$，
再由OM=3$\sqrt{2}$，可得$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$=$\sqrt{2}$×$3\sqrt{2}$וcos＜$\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{OM}$＞+|ME||MF|cos＜$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{ME}$＞
=6cos＜$\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{OM}$＞+$\sqrt{2}$|MF|cos＜$\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{ME}$＞≤6+2=8，
所以，即$\overrightarrow{ME}$$•\overrightarrow{OF}$的最大值是大为8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．