Question

设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②棱长都相等的直四棱柱是正方体 ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体 ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体，其中真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：举出反例可否定一个命题：①侧棱不一定垂直于底面，由此可判断出①的真假；②底面是菱形是不是正方体；③若侧棱垂直于底面两条平行边却不一定；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，由此可判断出真假．

解答：解：①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，故①不正确．
②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故②不正确．
③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．因此③不正确．
④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故④正确．
综上可知只有④是真命题．
故选A．

点评：本题综合考查了平行六面体与直平行六面体之间的关系，会判断线面垂直是解决问题的关键．