Question

已知数列{a_n}的通项a_n=2n-1（n=1，2，3，…），现将其中所有的完全平方数（即正整数的平方）抽出按从小到大的顺序排列成一个新的数列{b_n}．
（1）若b_k=a_m，则正整数m关于正整数k的函数表达式为m=

2k²-2k+1

（2）记S_n是数列{an}的前n项和，则

Sn

nbn

能取到的最大值等于

1

．

Answer 1

分析：（1）由题设知bk=(2k-1)2=2（2k²-2k+1）-1，由此能求出m．
（2）由题设知

Sn

nbn

=

n2

n(2n-1)2

=

1

4n+ 1 n -4

≤1，由此能求出

Sn

nbn

的最大值．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的通项a_n=2n-1，
∴由题设知bk=(2k-1)2=2（2k²-2k+1）-1，
∵b_k=a_m，
∴m=2k²-2k+1．
（2）∵S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n=2n-1，
∴Sn=n+

n(n-1)

2

×2=n²，
∵bn=(2n-1)2，
∴

Sn

nbn

=

n2

n(2n-1)2

=

1

4n+ 1 n -4

≤1，
当且仅当n=1时，

Sn

nbn

取最大值1．
故答案为：2k²-2k+1，1．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，注意函数性质的灵活运用．