Question

如图，半圆O的直径AB的长为4，点C平分弧AE，过C作AB的垂线交AB于D，交AE干F．
（Ⅰ）求证：CE²=AE•AF：
（Ⅱ）若AE是∠CAB的角平分线，求CD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,相似三角形的性质

专题：立体几何

分析：（I）利用点C平分

AE

，可得

CE

=

CA

，CE=CA，∠CAE=∠CEA=∠FCA，进而得到△AFC∽△ECA．即可得出．
（II）由AE平分∠CAB，可得∠BAE=∠EAC=∠CEA，可得CE∥AB，于是∠ECD=90°，∠CAB=60°，即可得出．

解答： （I）证明：∵点C平分

AE

，∴

CE

=

CA

，∴CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA=∠FCA，
∴△AFC∽△ECA．
∴

AF

EC

=

AC

EA

，
∴CE²=AE•AF．
（II）解：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠EAC=∠CEA，
∴CE∥AB，
∴∠ECD=90°，∠BAE=∠EAC=∠CEA=30°，
∴∠CAB=60°，
∴CD=2sin60°=

3

．

点评：本题考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力，属于中档题．