【题目】已知函数f(x)=9x﹣2a3x+3:
(1)若a=1,x∈[0,1]时,求f(x)的值域;
(2)当x∈[﹣1,1]时,求f(x)的最小值h(a);
(3)是否存在实数m、n,同时满足下列条件:①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m,n]时,其值域为[m2,n2],若存在,求出m、n的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1) [2,6];(2) h(a)=;(3)不存在;理由见解析.
【解析】
试题(1)当a=1,x∈[0,1]时,令t=3x,t∈[1,3],y=g(t)=, t∈[1,3],由二次函数可求得值域。(2) φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2,x∈[﹣1,1]时,t∈[,3],对称轴为t=a.即转化为二次函数求值域的三点一轴分类讨论问题,分a<,≤a≤3,a>3三类进行讨论。(3)假设存在,n>m>3,由(2)知h(a)=12﹣6a,函数h(a)在(3,+∞)上是减函数,所以,两式相减得6(n﹣m)=(n﹣m)(m+n),
M+n=6,矛盾。所以不存在。
试题解析:(1)∵函数f(x)=9x﹣2a3x+3,
设t=3x,t∈[1,3],
则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2,对称轴为t=a.
当a=1时,φ(t)=(t﹣1)2+2在[1,3]递增,
∴φ(t)∈[φ(1),φ(3)],
∴函数f(x)的值域是:[2,6];
(Ⅱ)∵函数φ(t)的对称轴为t=a,
当x∈[﹣1,1]时,t∈[,3],
当a<时,ymin=h(a)=φ()=﹣;
当≤a≤3时,ymin=h(a)=φ(a)=3﹣a2;
当a>3时,ymin=h(a)=φ(3)=12﹣6a.
故h(a)=;
(Ⅲ)假设满足题意的m,n存在,∵n>m>3,∴h(a)=12﹣6a,
∴函数h(a)在(3,+∞)上是减函数.
又∵h(a)的定义域为[m,n],值域为[m2,n2],
则,
两式相减得6(n﹣m)=(n﹣m)(m+n),
又∵n>m>3,∴m﹣n≠0,∴m+n=6,与n>m>3矛盾.
∴满足题意的m,n不存在.
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A.i>4
B.i≤4
C.i>5
D.i≤5
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A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<a<b
D.c<b<a
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【题目】如图,在三棱柱中,各个侧面均是边长为的正方形,为线段的中点
(Ⅰ)求证:⊥平面;
(Ⅱ)求证:直线∥平面;
(Ⅲ)设为线段上任意一点,在内的平面区域(包括边界)是否存在点,使,并说明理由
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