Question

如图，正方形ABCD与直角梯形ACEF所在的平面垂直于梯形下底AC，AB=2，梯形上底EF与直角腰EC相等且为．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设AC与BD交与点G．
因为EF∥AG，且．
所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥GE，
因为GE?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）证明：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD．
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）．
所以，
所以，
所以CF⊥BE，CF⊥DE．
因为BE∩DE=E，所以CF⊥平面BDE．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，是平面BDE的一个法向量．
设平面ABE的法向量，则，．
即，
所以x=0，且，
令y=1，则．所以．从而．
因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D的大小为．
分析：（Ⅰ）证明AF∥平面BDE，利用线面平行的判定定理，设AC与BD交与点G，证明AF∥GE即可；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点、向量，利用向量的数量积即可证得CF⊥平面BDE．
（Ⅲ）是平面BDE的一个法向量，求出平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-BE-D的大小．
点评：本题考查线面平行、线面垂直，考查面面角，考查用向量方法解决立体几何问题，传统方法与向量方法相结合，属于中档题．